Informatyka 3

Przeanalizuj i popraw poniższy kod. Sprawdź działanie funkcji dla podanych poniżej parametrów.

• Wynikiem funkcji ile(10) jest 4.
• Wynikiem funkcji ile(100) jest 7.

Zdefiniuj funkcję pierwiastek(x, eps), której parametrami są liczba dodatnia większa od liczby 1 lub jej równa oraz mała liczba dodatnia (np. 0,00001), a wynikiem jest z dokładnością eps. Sprawdź działanie skryptu – wyznacz z dokładnością 0,1, 0,01 oraz 0,00001.

Film stanowi wprowadzenie do programowania fraktali w Pythonie – w desktopowym edytorze Mu. Omówiono rysowanie krzywej Kocha oraz płatka Kocha.

Oto fraktal Cesàro dla stopni iteracji 5 i 3.

Na platformie wolframalpha.com znajdź przykłady innych znanych fraktali (wystarczy wpisać w polu wyszukiwania słowo fractal). Wybierz jeden z nich i zbadaj, jak zmieniają się rysunki w zależności od wartości liczby iteracji.

Infografika przedstawia zasady zamiany liczb zapisanych w systemie dwudziestkowym Majów na liczby zapisane w systemie dziesiątkowym i odwrotnie.

Film pokazuje, w jaki sposób można dodać do gry Wisielec trzy funkcjonalności: losowanie hasła z listy zapisanej w pliku tekstowym (zadanie 2 w podręczniku), informowanie o zdobytych punktach oraz interakcję
z użytkownikiem (zadanie 3).

Infografika przedstawia przykłady zjawiska rekurencji w różnych dziedzinach działalności człowieka.

Przeanalizuj tabelę oraz kod, a następnie uzupełnij funkcję bank(kwota) pozwalającą obliczyć procent składany, w którym odsetki doliczane są do kwoty lokaty.

System Lindenmayera, zwany w skrócie L-systemem, to zestaw reguł służący do generowania graficznych struktur o budowie fraktalnej. Węgierski biolog Aristid Lindenmayer stworzył go w 1968 r. w celu modelowania za jego pomocą zachowania komórek roślin. Każdy symbol w L-systemie jest w takim modelu interpretowany jako określona sekwencja ruchów żółwia. W poniższej tabeli zawarto podstawowe polecenia, które można wykorzystać do generowania fraktali.Rysowanie polega na podawaniu kolejnych poleceń. Pierwsza kreska jest pionowa. W przypadku kwadratu (bok = d, kąt = 90°) ruchy żółwia można zapisać następująco: F+F+F+F. Zapis pozwalający narysować trójkąt równoboczny (bok = d, kąt = 60°) to: F++F++F.

Skorzystaj z podstawowych poleceń generowania fraktali i napisz na kartce polecenia pozwalające narysować poniższe motywy.

Skorzystaj z informacji w ćwiczeniu dodatkowym 1 i zdefiniuj na kartce symbol startowy oraz regułę rysowania krzywych Kocha.

Zdefiniuj funkcję pierwiastek(x, n, eps), której parametrami są liczba dodatnia większa od liczby 1 lub jej równa, stopień pierwiastka oraz mała liczba dodatnia (np. 0,00001), a wynikiem jest z dokładnością eps. Sprawdź działanie skryptu – wyznacz pierwiastek liczby 2 stopnia 2, 3 i 4 z dokładnością 0,1, 0,01 oraz 0,001.

Wskazówka: zmodyfikuj algorytm z ćwiczenia 1 – dodaj dodatkowy parametr n i podnieś c do n-tej potęgi.

Filmy

Prezentacja przedstawia najważniejsze konstrukcje stosowane w języku Python.

Plansza zawiera podstawowe operatory działań i porównania oraz polecenia.

Film prezentuje sposób zapisywania liczb binarnych oraz algorytmy przeliczania liczb z systemu dwójkowego na dziesiątkowy i odwrotnie.

Film prezentuje implementację algorytmu zamiany liczby dwójkowej na liczbę dziesiątkową i odwrotnie.

W edytorze zakodowano w języku Python algorytm wypisywania od końca cyfr danej liczby. Porównaj ten algorytm z zamieszczonym poniżej algorytmem zamiany liczby zapisanej w systemie dziesiątkowym na liczbę zapisaną w systemie dwójkowym.

1. Podaj liczbę w systemie dziesiątkowym.
2. Jeżeli liczba jest równa 0, to wypisz 0 i zakończ działanie algorytmu.
3. Przypisz do zmiennej pom (zapamiętywane kolejne cyfry) napis pusty.
4. Dopóki liczba > 0, wykonuj:
   • dopisz do pom wartość liczba % 2;
   • przypisz do liczba wartość liczba // 2.
5. Wypisz pom.

Zdefiniuj funkcję na10(dana), której parametrem jest liczba binarna w postaci napisu, a wynikiem – odpowiadająca jej liczba w systemie dziesiątkowym. Sprawdź działanie funkcji dla podanych poniżej parametrów.

• Wynikiem funkcji na10("101010") jest 42.
• Wynikiem funkcji na10("110101") jest 53.

Zdefiniuj funkcję na2(liczba), której parametrem jest liczba dziesiętna, a wynikiem – odpowiadająca jej liczba zapisana jako napis w systemie dwójkowym. Sprawdź działanie funkcji dla podanych poniżej parametrów.

• Wynikiem funkcji na2(42) jest "101010".
• Wynikiem funkcji na2(53) jest "110101".

Zdefiniuj funkcję na10(dana), której parametrem jest liczba zapisana w systemie ósemkowym, a wynikiem – odpowiadająca jej liczba zapisana w systemie dziesiątkowym. Sprawdź działanie funkcji dla podanych poniżej parametrów.

• Wynikiem funkcji na10("174") jest 124.
• Wynikiem funkcji na10("362374") jest 124156.

Zdefiniuj funkcję na8(liczba), której parametrem jest liczba dziesiętna, a wynikiem – odpowiadająca jej liczba zapisana w systemie ósemkowym. Sprawdź działanie funkcji dla podanych poniżej parametrów.

• Wynikiem funkcji na8(124) jest "174".
• Wynikiem funkcji na8(124156) jest "362374".

Obrazki można zapisać za pomocą zer i jedynek jako napis złożony ze słów, np. litera H to „010000010”. Negatyw obrazka to napis z zerami pozamienianymi na jedynki i jedynkami pozamienianymi na zera,
czyli „101111101”.

Napisz funkcję negatyw(kod), której wynikiem będzie kod negatywu danego obrazka. Sprawdź działanie funkcji dla podanych poniżej parametrów.

• Wynikiem funkcji negatyw("010000010") jest "101111101".
• Wynikiem funkcji negatyw("101111101") jest "010000010".

Napisz funkcję wieksza(liczba1, liczba2), której wynikiem jest większa z liczb podanych jako parametr lub dowolna z nich, gdy liczby są równe. Liczby są zapisane w systemie dwójkowym. Sprawdź działanie funkcji dla podanych poniżej parametrów.

• Wynikiem funkcji wieksza("101","11") jest "101".
• Wynikiem funkcji wieksza("101","1111") jest "1111".

Napisz funkcję bintooct(dana), której parametrem jest liczba zapisana w systemie dwójkowym, a wynikiem – odpowiadająca jej liczba zapisana w systemie ósemkowym. Postaraj się wykorzystać fakt, że 8 jest potęgą dwójki. Sprawdź działanie funkcji dla podanych poniżej parametrów.

• Wynikiem funkcji bintooct("101010") jest "52".
• Wynikiem funkcji bintooct("110101") jest "65".

Napisz funkcję octtobin(dana), której parametrem jest liczba zapisana w systemie ósemkowym, a wynikiem – odpowiadająca jej liczba zapisana w systemie dwójkowym. Postaraj się wykorzystać fakt, że 8 jest potęgą dwójki. Sprawdź działanie funkcji dla podanych poniżej parametrów.

• Wynikiem funkcji octtobin("52") jest "101010".
• Wynikiem funkcji octtobin("65") jest "110101".

Napisz program, za pomocą którego znajdziesz miejsce zerowe funkcji określonej wzorem f (x) = 2x³ – x – 5
w przedziale 〈0, 100〉 z dokładnością 0,001. Wykorzystaj algorytm połowienia.

Napisz program, za pomocą którego znajdziesz miejsce zerowe funkcji określonej wzorem f(x) = – 1/4x² + x + 2 w przedziale 〈2, 10〉 z dokładnością 0,001. Wykorzystaj algorytm połowienia. Wyznacz też miejsce zerowe przez obliczenie wyróżnika i porównaj oba wyniki. Możesz też poszukać drugiego miejsca zerowego w innym przedziale.

Zmień kod z ćwiczenia 3 tak, aby badał miejsce zerowe podanej funkcji dla dowolnego zakresu <a, b>
z dowolną dokładnością eps. Sprawdź działanie funkcji dla różnych parametrów.

Zmień kod z ćwiczenia 4 tak, aby badał miejsce zerowe podanej funkcji dla dowolnego zakresu <a, b>
z dowolną dokładnością eps. Sprawdź działanie funkcji dla różnych parametrów.

Napisz funkcję porownaj(l1, m1, l2, m2), której wynikiem dla danych dwóch liczb l₁/m₁ oraz l₂/m₂ będzie 0 – gdy liczby są równe, 1 – gdy pierwsza liczba jest większa od drugiej, lub 2 – gdy druga liczba jest większa od pierwszej. Sprawdź działanie funkcji dla różnych parametrów.

Napisz program, za pomocą którego znajdziesz  z dokładnością eps i wyznaczysz liczbę kroków potrzebnych, aby otrzymać żądane przybliżenie. Sprawdź działanie funkcji dla  oraz dokładności 0,1, 0,01, 0,001 i 0,0001.

Innym algorytmem obliczania pierwiastka jest metoda Newtona-Raphsona. Znajdź informacje o tej metodzie i jej zastosowaniach, a następnie zaimplementuj ją do obliczania pierwiastka kwadratowego z liczby i sprawdź, czy jest wydajniejsza od metody połowienia. 

Wskazówka

Znajdowanie pierwiastka kwadratowego można sprowadzić do szukania długości boku kwadratu o zadanym polu.

Szukany jest , czyli bok kwadratu o polu a. Jeżeli zacząć od prostokąta o bokach x i a/x, gdzie za x można przyjąć np. 1, to obliczanie kolejnych przybliżeń x pozwoli znaleźć szukany pierwiastek.

Dokładność można zweryfikować przez wyznaczenie różnicy długości boków prostokąta x – a/x.

Skorzystaj z informacji w ćwiczeniu dodatkowym 1 i zdefiniuj na kartce symbol startowy oraz regułę rysowania płatka Kocha.

Przyjmij poniższe założenia i wygeneruj kolejne stopnie pentadendrytu. Przedstaw je w postaci rysunków na kolejnych slajdach prezentacji.

symbol startowy: F
reguła: F: F+F-F–F+F+F
kąt: 72 stopnie

Portal www.alife.pl poświęcony projektom z pogranicza informatyki, biologii, fizyki i sztuki zawiera również dział poświęcony L-systemom www.alife.pl/lsyst/p. Interfejs, dzięki któremu można generować fraktale z użyciem L-systemów, znajduje się pod adresem www.alife.pl/files/lsyst/d/js/lsystem.html?lang=pl. Przyjrzyj się fraktalom przedstawiającym rośliny. Poeksperymentuj, znajdź swoją roślinę i zapisz rysunek.

Wyszukaj fraktale na portalu dla artystów deviantart.com. Wymyśl zastosowanie dla pięciu z nich, a następnie opracuj tabelę zawierającą rysunek fraktala, autora grafiki, link do obrazu oraz krótki opis prezentujący możliwe zastosowanie.

Przygotuj infografikę pokazującą przykłady fraktali w naturze.

Zdefiniuj funkcję rekurencyjną silnia(n), której argumentem jest liczba nieujemna n, a wynikiem – obliczona silnia podanej liczby n. Sprawdź działanie funkcji dla podanych poniżej parametrów.

• Wynikiem funkcji silnia(3) jest 6.
• Wynikiem funkcji silnia(9) jest 362880.

Zdefiniuj funkcję iteracyjną silnia2(n), której argumentem jest liczba nieujemna n, a wynikiem – obliczona silnia podanej liczby n. Sprawdź działanie funkcji dla podanych poniżej parametrów.

• Wynikiem funkcji silnia2(3) jest 6.
• Wynikiem funkcji silnia2(9) jest 362880.

Zdefiniuj funkcję rekurencyjną potega(a, n), której parametrami są liczba a oraz liczba n, a wynikiem jest obliczona n-ta potęga podanej liczby a. Sprawdź działanie funkcji dla podanych poniżej parametrów.

• Wynikiem funkcji potega(2, 3) jest 8.
• Wynikiem funkcji potega(9, 5) jest 59049.

Pewien ciąg liczb został zdefiniowany rekurencyjnie, tak jak poniżej:

Zdefiniuj funkcję rekurencyjną ciag(n) obliczania n-tego wyrazu tego ciągu. Sprawdź działanie funkcji dla podanych poniżej parametrów.

• Wynikiem funkcji ciag(5) jest -56.
• Wynikiem funkcji ciag(8) jest 19012.

Zdefiniuj funkcję rekurencyjną suma_cyfr(n), która wyznaczy sumę cyfr liczby podanej jako parametr. Sprawdź działanie funkcji dla podanych poniżej parametrów.

• Wynikiem funkcji suma_cyfr(136) jest 10.
• Wynikiem funkcji suma_cyfr(19918) jest 28.

Zdefiniuj funkcję rekurencyjną fib(n), której parametrem jest liczba n, a wynikiem – n-ta liczba ciągu Fibonacciego. Sprawdź działanie funkcji dla podanych poniżej parametrów.

• Wynikiem funkcji fib(4) jest 3.
• Wynikiem funkcji fib(11) jest 89.

Zdefiniuj funkcję iteracyjną fib2(n), której parametrem jest liczba n, a wynikiem – n-ta liczba ciągu Fibonacciego. Sprawdź działanie funkcji dla podanych poniżej parametrów.

• Wynikiem funkcji fib2(4) jest 3.
• Wynikiem funkcji fib2(11) jest 89.

Kolejne liczby ciągu Lucasa oblicza się w taki sam sposób jak liczby Fibonacciego, z tym że początkowe liczby są równe 2 i 1. Każda kolejna liczba Lucasa jest sumą dwóch poprzednich, a zatem początkowe wartości ciągu Lucasa to: 2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199, 322, 521, 843, 1364, …

Zdefiniuj rekurencyjną funkcję lucas(n), której wynikiem będzie n-ta liczba Lucasa i przetestuj dla wartości trzeciej i jedenastej z kolei.

Wypisz kolejne ilorazy wartości F(n) i F(n – 1) ciągu Fibonacciego dla przedziału od 2 do 20. Jaką widać prawidłowość?

Wskazówka: pierwsze cztery ilorazy to: 1.0, 2.0, 1.5, 1.6666666666666667.

Fibonacci przedstawił zależność znaną obecnie jako ciąg Fibonacciego na przykładzie analizy liczby par królików w stadzie, w którym każda dojrzała para co miesiąc wydaje na świat parę młodych. Króliki osiągają dojrzałość dopiero po miesiącu. Na początku w stadzie żyje jedna para królików. Na koniec każdego miesiąca w stadzie żyje więc tyle par królików, ile w sumie żyło pod koniec dwóch poprzednich miesięcy, np. w miesiącu trzecim liczba par królików wynosi 2, czwartym – 3, w piątym – 5 itd.

Ponieważ króliki umierają, w każdym miesiącu, którego numer jest podzielny przez 7, liczba par królików zmniejsza się o wartość tego numeru. Przyjmij, że umierają króliki najstarsze.

Poniższa tabela przedstawia liczbę par królików w kolejnych miesiącach.

Zdefiniuj funkcję stado(n) obliczania liczby par królików w poszczególnych miesiącach i przetestuj działanie tej funkcji dla trzeciego, siódmego i czternastego miesiąca.